SOMMAIRE

Les « méthodes» de détection de contours

a. Dérivation de 1er ordre : la méthode du gradient
Les filtres de dérivée première sont des filtres représentant des opérateurs de différentiation.
Leur prototype est le filtre de gradient qui se calcule généralement sur 3 points. La méthode du gradient traite les contours qui se caractérisent sur une image par une discontinuité des niveaux de gris.

On sait que le gradient des niveaux de gris sur un contour est maximal, on peut donc effectuer le calcul du gradient sur l'ensemble de l'image, pour ne conserver que les maxima du gradient.
Le calcul de gradient


Pour l'évaluer, on utilise des applications de masque qui prennent en considération les variations locales des niveaux de gris.

Le gradient d'une image est le vecteur défini par :

Et caractérisé par : un module et une direction dans l'image :




Estimation du gradient

Afin de calculer le gradient, l'approche la plus classique pour l’estimer est de choisir deux directions privilégiées orthogonales, sur lesquelles on projette le gradient.
On obtient alors le gradient en x et en y :

On peut calculer pour chaque point(x,y) de l’image son vecteur gradient caractérisé par sa direction qui maximise la dérivée directionnelle et sa norme est la valeur de cette dérivée.

On obtient la dérivée de I dans une direction quelconque à partir des deux dérivées directionnelles définissant le gradient Ix et Iy de la manière suivante :



En développant la formule de Lagrange au premier ordre, la dérivée en un point x d'une fonction f s'obtient par l'approximation suivante :

Appliquée à une image, on peut définir deux dérivées partielles, suivant x (colonnes) et suivant y (lignes). Les masques correspondants figurent ci-dessous :


La dérivation accentuant le bruit (pixels parasites de répartition aléatoire), des filtres dérivés, plus robustes, on été proposés.




Résumé du cours

Définition de contour
Il s'agit d'une courbe de l’image au travers de laquelle s’opère une forte variation de l’intensité lumineuse

Méthode de Gradient :
Rappels :

Le gradient de f en (x,y) :
Propriétés géométriques :


+ Le gradient est orthogonal aux courbes de niveaux de l’image :
Supposons que (x,y) sont sur une même courbe de niveau :


En effectuant un développement limité à l'ordre un, on obtient au final :

Le gradient est orthogonal à u, c'est à dire normal à la courbe de niveau.

+ Le gradient est orienté dans la direction où le champ croît le plus localement, dans le sens de croissance de champ et cette croissance est d'autant plus forte que la norme de gradient est importante.

Lien avec les contours :


On peut considérer qu'un point de contour correspond à un maximum local de la norme du gradient. La norme au contour est donné par le gradient.




Discrétisation du gradient


Dans la pratique, on dispose de l'image échantillonnée :


Supposons l'échantillonage rectangulaire de pas L1 et L2.
On a alors
où ƒ est le champ continu supposé différenciable.

Approximation du gradient horizontal

On cherche à réaliser une approximation par filtrage On souhaite que le filtre sois de reponse impulsionnelle finie.
On a :


Pour déterminer , on doit :

1. Réaliser une bonne approximation de la dérivée suivante :


Si l'échantillonage est finie : L1 et L2 petits et le support de filtrage est peu étendue : k et l prennent de faible valeurs quand .



2. Limiter l'impact du bruit et qui à tendance à être amplifierpar le filtre du gradient.

Approximation du gradient vertical :

On a :



Méthode de Laplacien :
L'idée générale est de remplacer la recherche de maximas de la dérivée d'ordre 1 par le passage par zéro de la dérivée seconde

On utilise le Laplacien surtout en 2D.

La formule :

Remarques :
- Cette méthode est moins utilisée car elle est plus sensinle au bruit
- Meilleur respect des contours fermés.





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