b. Dérivation de 2ème ordre : la méthode de Laplacien
Définition de la méthode de Laplacien
Comme nous l'avons dis précedemment, un contour
est une variation brusque de la luminance, on peut détecter les
contours en utilisant la méthode qui consiste à rechercher
le passage par zéro de la dérivée seconde (également
appelé zéro-crossing).
Le filtre Laplacien calcule les différences entre tons de gris
d'un point central et la moyenne des tons de gris de son voisinage.
Son inconvénient majeur est sa grande sensibilité au "bruit"
de l'image : de même qu'il fera ressortir le contour des objets,
il fera apparaître les "bruits".
Il n'existe pas une dérivée seconde unique mais 4 dérivées
partielles (selon x², y², xy et yx) mais l'opérateur
Laplacien fait la somme des deux dérivées partielles principales.
La formule du Laplacien de dérivée d’ordre 2 :
On peut définir les dérivées
partielles du second ordre grâce aux filtres suivants :
Equation de Laplace
Dans le cas d’une image, la fonction nous donne
la luminosité des points constituée d'un dégradé
de gris régulier.
Cette fonction vérifiant l'équation de Laplace
est dite harmonique.
Si ƒ est une fonction de 2 variables x , y alors :
et en général pour une fonction de
n variables xi; il vaut
Le Laplacien est souvent utilisé pour accentuer l’effet
de contour mais il est beaucoup plus sensible au bruit que le gradient
.
Les « méthodes» de détection de contours
b. Dérivation de 2ème ordre : la méthode de Laplacien
est dite harmonique. 
