Rappels :

Le gradient de f en (x,y) :

Propriétés géométriques :

+ Le gradient est orthogonal aux courbes de niveaux de l’image :

Supposons que (x,y) sont sur une même courbe de niveau :

En effectuant un développement limité à l'ordre un, on obtient au final :

Le gradient est orthogonal à u, c'est à dire normal à la courbe de niveau.

---

+ Le gradient est orienté dans la direction où le champ croît le plus localement, dans le sens de croissance de champ et cette croissance est d'autant plus forte que la norme de gradient est importante.

Lien avec les contours :

On peut considérer qu'un point de contour correspond à un maximum local de la norme du gradient. La norme au contour est donné par le gradient.

Discrétisation du gradient

Dans la pratique, on dispose de l'image échantillonnée :

Supposons l'échantillonage rectangulaire de pas L1 et L2.
On a alors

où ƒ est le champ continu supposé différenciable.

Approximation du gradient horizontal

On cherche à réaliser une approximation par filtrage On souhaite que le filtre sois de reponse impulsionnelle finie.
On a :

Pour déterminer , on doit :

1. Réaliser une bonne approximation de la dérivée suivante :

Si l'échantillonage est finie : L1 et L2 petits et le support de filtrage est peu étendue : k et l prennent de faible valeurs quand .

2. Limiter l'impact du bruit et qui à tendance à être amplifierpar le filtre du gradient.

Approximation du gradient vertical :

On a :